Question

（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；

Answer 1

解题思路：（1）由于已知 a 2+b 2≥2ab，b 2+c 2≥2bc，a 2+c 2≥2ac，相加后两边同时除以2，即得所证．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．

证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
相加可得 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；
（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x2-2y+[π/2]）+（y2-2z+[π/3]）+（z2-2x+[π/6]）
=（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0．

点评：
本题考点： 反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题主要考查用综合法和反证法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．