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Answer 1

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问题描述:

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意实数x,恒有2f(x)+f(-x)+2x方=0成立.

(1)求出f(x)的解析式

(2)讨论f(x)在R上的单调性,并用定义给予证明

解析:

解：2f(x)+f(-x)+2x^2=0 ， 把-x带入自变量得

2f(-x)+f(x)+2x^2=0 解这个方程组，（其中f(x)和f(-x)为两个变量）得：f(x)=-2/3x^2 是定点在原点开口朝下的抛物线

(2)f(-x)=-2/3(-x)^2=-2/3x^2=f(x) 故f(x)在R上为偶函数。

当 x>0时，设x1<x2, 则x1^2<x2^2 -2/3x1^2>(-2/3)x2^2

所以f(x1)>f(x2) 即当 x>0时，f(x)是减函数。

根据偶函数的对称性知：当 x<0时，f(x)是增函数。