Question

求助！！概率论中的组合公式证明

图片中的等式，如何不用归纳法，从左边推导出右边？

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Answer 1

考虑下列组合问题： 有n + k - 1个都能分别的球， 其中红球n个， 白球 k-1 个， 在其中任意取 k个球， 其可能取法为 C（n+k-1, k), 这是等式的右边。

另一个算法是：
只取一个白球的可能取法为： C（n, 1) * C(k-1, k-1);
只取两个白球的可能取法为： C（n, 2) * C(k-1, k-2);
.。。。
只取k个白球的可能取法为： C（n, k) * C(k-1, 0);

把上面的取法全部相加，就得到全部的取法， 即等于等式的右边。同时 因为 C(k-1, i) = C(k-1, k-1-i) 对 i = 0, 1,...,k-1 都成立。 所以原等式成立。