小学奥数计数问题之容斥原理知识点
【篇一】
容斥原理概念:
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)
容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C)
经典例题:
例1、某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有()人.
考点:重叠问题.
分析:如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解方程即可.
解答:解:如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,
有20+12+10-6-2-x=30,
解得x=4.
故答案为:4.
点评:此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力.
例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()
解答:根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知:a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知:a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3
因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
【篇二】
1、在1到500的全部自然数中,不是7的倍数,也不是9的倍数的数共有多少个?
2、六年级一班有45名同学,每人都参加暑假体育培训班,其中足球班报25人,篮球班报20人,游泳班报30人,足球、篮球都报者有10人,足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人?
3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人参加,老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没有得满分者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度,赞成去颐和园的人数是全体的35,其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人,其余不赞成,另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人,同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?
6、分母是1001的最简真分数共有多少人?
7、*出了两道数学题,全班40人中,第一有30人做对,第二题有12人未做对,两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?
(2)两题都不对的有几人?
8、每边长为10厘米的正方形纸片,正中间挖一个正方形的洞,成为宽1厘米的方框,把五个这样的方框放在桌面上,成为如的图案。问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?
9、一次数学竞赛都是填空题,小明答错的恰是题目总数的14,小亮答错5题,两人都答错的题目的总数的16,已知小明,小亮都答对题目超过了试题总数的一半,则他们都答对了多少道题?
10、在1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?
【篇三】
奥数计数问题之容斥原理解析
1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上,两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米,三个圆相交的面积是5平方厘米,求三个圆盖住桌面的面积?
2.某区有100名外语教师懂英语或日语,其中懂英语的有75名,既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名?
3.某班数学测验时有10人得优,英语得优有12人,两门都得优有3人,两门都没得优的有26人。全班有多少人?
4.六年级一班春游,带矿泉水的有18人,带水果的有16人,这两种至少带一种的有28人,求两种都带的有多少人?
5.在1至100的自然数中,不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个?