设随机变量X，Y相互独立，且服从同一分布，试证明： P{a＜min{X，Y}≤b}=[P{X＞a}]2-[P{X＞b}]2 (a≤b)．
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【答案】：由题设X和Y相互独立，且服从同一分布，以F(x)记它们的分布函数，又记N=min{X，Y)的分布函数为FN(z)，则
FN(z)=1-[1-F(z)]2，
于是
P{a＜min{X，Y}≤b)=FN(b)-FN(a)=[1-F(a)]2-[1-F(b)]2．
因
P{X＞a}=1-P{X≤a}=1-F(a)，
P{X＞b}=1-P{X≤b}=1-F(b)，
从而
P{a＜min{X，Y}≤b}=[P{X＞a}]2-[P(X＞b}]2．
FN(z)=1-[1-F(z)]2，
于是
P{a＜min{X，Y}≤b)=FN(b)-FN(a)=[1-F(a)]2-[1-F(b)]2．
因
P{X＞a}=1-P{X≤a}=1-F(a)，
P{X＞b}=1-P{X≤b}=1-F(b)，
从而
P{a＜min{X，Y}≤b}=[P{X＞a}]2-[P(X＞b}]2．
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