Question

高二数学 数列问题 急急急急急急

设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知b*an－2^n=（b－1）Sn。①证明当b=2时，｛an－n*2^n-1｝是等比数列。②求｛an｝的通项公式

Answer 1

①b*an－2^n=（b－1）Sn
当b=2时，
2*an－2^n=Sn
所以s（n-1）=2*a（n-1）－2^（n-1）
两式相减
有an=2an-a（n-1）-2^n+2^（n-1）
移项，an=a（n-1）+2^n-2^（n-1）
也就是an=a（n-1）+2^（n-1）
两边减去n2^（n-1）
有an－n*2^（n-1）=a（n-1）-（n-1）2^（n-1）
所以令bn=an－n*2^n-1
有bn/b（n-1）=1为常数
所以当b=2时，｛an－n*2^n-1｝是等比数列
②b*an－2^n=（b－1）Sn
b*a（n-1）－2^（n-1）=（b－1）S（n-1）
两式相减
有b[an-a（n-1）]-2^（n-1）=（b-1）an
移项，an=ba(n-1)+ 2^（n-1）
两边加上2^n/（b-2 ），有
an+2^n/（b-2 ）=b[a（n-1）+2^（n-1）/（b-2 ）]
所以，｛an+2^n/（b-2 ）｝是等比数列
首项为a1+2/（b-2 ），公比为b
所以an+2^n/（b-2 ）=b^(n-1){a1+2/（b-2 ）}
an=b^(n-1){a1+2/（b-2 ）}-2^n/（b-2 ）