Question

∫(2X-3/√X+1/X+3/X²)dx的积分？

Answer 1

我们将分母拆开成两个部分：

(2X-3/√X+1/X+3/X²)dx = (2X-3)/(√X+1)dx - 3/(X(X+3))dx

对于第一项，我们可以使用代换法（取u = √X+1）进行积分，即：

∫(2X-3)/(√X+1)dx = ∫(2u²-5)du = (2/3)u³-5u + C = (2/3)(√X+1)³-5(√X+1) + C

对于第二项，我们可以使用“部分分式分解法”将其拆开为：

-3/(X(X+3)) = A/X + B/(X+3)

其中A和B是待定系数。将其通分，得到：

-3/(X(X+3)) = (3/X) - (3/(X+3))

于是第二项的积分就可以得到：

∫[-3/(X(X+3))]dx = 3ln|X| - 3ln|X+3| + C

因此，将两个部分的积分结果相加，最终得到原函数的积分为：

∫(2X-3/√X+1/X+3/X²)dx = (2/3)(√X+1)³-5(√X+1) + 3ln|X| - 3ln|X+3| + C

其中C为常数项。