Question

设连续型随机变量x的概率密度函数为F(x)=kx 0<x<2;0 其他，求（1）常数k的值（2）分布函数F(X)（3）E(2X)

Answer 1

根据概率密度函数的定义，我们有：

（1）常数k的值

要使F(x)是一个合法的概率密度函数，必须满足：

- F(x)≥0

- ∫F(x)dx=1
将题目中的F(x)代入，得到：

- kx≥0

- ∫kxdx=1
解得：

- k>0

- k=1/2
所以常数k的值为1/2。

（2）分布函数F(X)

分布函数F(X)是概率密度函数F(x)的积分，即：

F(X)=∫F(x)dx

将题目中的F(x)代入，得到：

当x<0时，F(X)=0

当0≤x<2时，F(X)=∫(1/2)x dx=(1/4)x^2+C
当x≥2时，F(X)=1
由于分布函数要求在负无穷处为零，在正无穷处为一，所以C=0。因此，

当x<0时，F(X)=0

当0≤x<2时，F(X)=(1/4)x^2
当x≥2时，F(X)=1
（3）E(2X)

E(2X)是随机变量2X的数学期望，它等于概率密度函数乘以自变量的积分，即：

E(2X)=∫(2X)* F(x) dx

将题目中的F(x)代入，并利用已知条件k=1/2和0<x<2，得到：

E(2X)=∫(from 0 to 2)(X)*(1/4)x dx=(from 0 to 8)/12-(from 0 to 8)/12=(8/3)-(8/12)=(16/12)

所以E(2X)=(16/12)

Answer 2

k=1/2