Question

limx→无穷大(x+2/x+3)ˣ=？

Answer 1

随着 x 趋近于无穷大，分式中支配项为 x/x，简化后为 1。因此，我们可以将原始的极限表示为：
lim x→∞ [(x+2)/(x+3)]^x = lim x→∞ [x/(x+3)+2/(x+3)]^x
将极限运算符带入括号内部，得到：
lim x→∞ [x/(x+3)+2/(x+3)] = lim x→∞ (x/(x+3)) + lim x→∞ (2/(x+3)) = 1 + 0 = 1

Answer 2

当 $x$ 趋近于正无穷时，分数 $\frac{x+2}{x+3}$ 趋近于 $1$，因此：
$$\lim_{x \to \infty} (x+2/x+3)^x = \lim_{x \to \infty} [(1+\frac{1}{x+3})^{x+3}]^{\frac{x}{x+3}} = e^{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x+3}} = e$$
因此，原式的极限为 $e$。