Question

求周期信号的傅里叶变换

Answer 1

对于周期信号的傅里叶变换，我们首先需要将其表示为复指数形式。已知周期信号 cos(ω_0t) 可以表示为复指数形式：
cos(ω_0t) = (1/2)(e^(jω_0t) + e^(-jω_0t))
要求傅里叶变换，我们需要求其连续时间傅里叶变换（CTFT），即积分形式。定义为：
F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt （从负无穷到正无穷）
其中 f(t) 是周期信号，ω 是频率，t 是时间，j 是虚数单位。
对于给定的周期信号 cos(ω_0t)，我们有：
F(ω) = ∫[(1/2)(e^(jω_0t) + e^(-jω_0t)) * e^(-jωt)]dt （从负无穷到正无穷）
接下来，我们将积分拆分成两个部分：
F(ω) = (1/2)∫[e^(jω_0t) * e^(-jωt)]dt + (1/2)∫[e^(-jω_0t) * e^(-jωt)]dt （从负无穷到正无穷）
分别计算这两个积分：
第一个积分：
∫[e^(jω_0t) * e^(-jωt)]dt = ∫[e^(j(ω_0 - ω)t)]dt = δ(ω - ω_0) （从负无穷到正无穷）
其中 δ 是狄拉克（Dirac）δ 函数。
第二个积分：
∫[e^(-jω_0t) * e^(-jωt)]dt = ∫[e^(-j(ω_0 + ω)t)]dt = δ(ω + ω_0) （从负无穷到正无穷）
将两个积分的结果相加：
F(ω) = (1/2)[δ(ω - ω_0) + δ(ω + ω_0)]
所以，周期信号 cos(ω_0t) 的傅里叶变换是：
F(ω) = (1/2)[δ(ω - ω_0) + δ(ω + ω_0)]