Question

一道函数题

记max{a1,a2…,an}为a1,a2,…,an中最大的一个,设f(x)=max{|x-2|,-x^2+6x-4},x∈[0,6]，求f（x）的最值。

Answer 1

令|x-2|= -x²+6x-4，

则（1）当2≤x<6时，令x-2= -x&sup2;+6x-4，x&sup2;-5x+2=0，得x=(5±√17)/2，

∵2≤x<6，∴x=(5+√17)/2，

而当2≤x<(5+√17)/2时，x&sup2;-5x+2<0，即x-2<-x&sup2;+6x-4，

∴f(x)= -x&sup2;+6x-4，

当 (5+√17)/2≤x≤6时，x&sup2;-5x+2≥0，即x-2≥-x&sup2;+6x-4，

∴f(x)= x-2=|x-2|；

（2）当0≤x<2时，令-x+2= -x&sup2;+6x-4，x&sup2;-7x+6=0，得x=1，或x=6，

∵0≤x<2，∴x=1，

而当0≤x≤1时，x&sup2;-7x+6>0，即-x+2> -x&sup2;+6x-4，

∴f(x)= -x+2=|x-2|，

当1<x<2时，x&sup2;-7x+6<0，即-x+2< -x&sup2;+6x-4，

∴f(x)= -x&sup2;+6x-4，

综上，f(x)的解析式为：

分段函数f(x)={|x-2|，(0≤x≤1，或(5+√17)/2≤x≤6)；

              -x&sup2;+6x-4，(1<x<5+√17)/2).

∴由分段函数的最值可知，

当x=3时，f(x)有最大值f(3)=5，

当x=1时，f(x)有最小值f(1)=1.

Answer 2

g(x)= -x^2+6x-4
g'(x) = -2x+6 = 0
=> x= 3
g''(x) = -2 <0 (max)

maxg(x)=g(3)=-9+18-4 = 5

max |x-2| occurs at x=6
max|x-2| = 4

f(x)=max{|x-2|,-x^2+6x-4},
= max{ 4, 5 }
= 5 #

Answer 3

设Y=|x-2|-(-x^2+6x-4),x∈[0,6]，
则有
1)X>=2时候 Y=X-2+X^2-6X+4=X^2-5X+2
Y=0时候 X^2-5X+2=0 得 X1=(5+√17)/2 X2=(5-√17)/2
即X>X1,或者 X<X2 Y>0
X2<=X<=X1 Y<0
综合以上
当(5+√17)/2>=X>=2, Y<0.即F(X)=-x^2+6x-4
当6>=X>(5+√17)/2,Y>0 即F(X)=X-2
2)X<2时候 Y=-X+2+X^2-6X+4=X^2-7X+6
Y=0 解得 X1=6,X2=1
所以当 X>6 或者X<1时候 Y>0
1<X<=6时候 Y<0
综合以上 1<=X<2 Y<0,即F(X)=-x^2+6x-4
0=<X<1,Y>0 F(X)=X-2
所以F(X)=X-2, 0=<X<1或者 6>=X>(5+√17)/2
F(X)=-x^2+6x-4, 1<=X<=(5+√17)/2

Answer 4

当2《x《6时
f(x)=max{x-2,-x^2+6x-4}
-x^2+6x-4在x=3上取最大值
即-3^2+6*3-4=5
最小值为f(6)=-4
x-2取最大值4,最小值0
所以当2《x《6时
f(x)max=5
f(x)min=-4
当0《x《2时
f(x)=max{-x+2,-x^2+6x-4}
-x^2+6x-4在x=0时取最小值-4
最大值为f(2)=4
-x+2取最大值2
最小值取0
所以f(x)max=4
f(x)min=-4
综上所述
f(x)max=5
f(x)min=-4