Question

为什么收敛的级数发散？

Answer 1

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 是发散的。

这可以通过狄利克雷判别法（Dirichlet's test）来证明。设 $a_n = \sin n$，$b_n = \frac{1}{n}$，则有：

• $a_n$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，且在 $[0, 2\pi]$ 区间单调递减，$|a_n| \leqslant 1$；

• ${b_n}$ 单调趋于零，并且 $\left|\sum_{k=1}^{n} b_k\right| =\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right| \leqslant \ln(n)+1$，即 ${b_n}$ 的部分和有界。

因此，根据狄利克雷判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n \cdot \frac{1}{n}$ 收敛。但是，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 不满足调和级数的收敛条件，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 发散。