为什么收敛的级数发散?
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级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 是发散的。
这可以通过狄利克雷判别法(Dirichlet's test)来证明。设 $a_n = \sin n$,$b_n = \frac{1}{n}$,则有:
$a_n$ 是周期为 $2\pi$ 的函数,且在 $[0, 2\pi]$ 区间单调递减,$|a_n| \leqslant 1$;
${b_n}$ 单调趋于零,并且 $\left|\sum_{k=1}^{n} b_k\right| =\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right| \leqslant \ln(n)+1$,即 ${b_n}$ 的部分和有界。
因此,根据狄利克雷判别法,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n \cdot \frac{1}{n}$ 收敛。但是,$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 不满足调和级数的收敛条件,因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 发散。
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