Question

求函数y=ln(x^2+1)在[-1,3]的最大值和最小值.

Answer 1

要求函数y = ln(x^2 + 1) 在闭区间[-1, 3]上的最大值和最小值，可以使用微积分的技巧。
1. 首先，求函数的导数：y' = (1 / (x^2 + 1)) * (2x) = (2x) / (x^2 + 1)。
2. 然后，找出函数的驻点和临界点。由于函数在定义域内单调递增，所以驻点为临界点。令导数 y' = 0，解方程 (2x) / (x^2 + 1) = 0，得到 x = 0 为唯一的驻点。
3. 接下来，考虑函数在区间的端点和驻点处的取值。
- 当 x = -1 时，y = ln((-1)^2 + 1) = ln(2)。
- 当 x = 0 时，y = ln(0^2 + 1) = ln(1) = 0。
- 当 x = 3 时，y = ln(3^2 + 1) = ln(10)。
4. 最后，通过比较这些取值，即可得到函数在区间[-1, 3]上的最大值和最小值：
- 最小值为 y = 0，当 x = 0 时取得。
- 最大值为 y = ln(10)，当 x = 3 时取得。
因此，函数y = ln(x^2 + 1) 在闭区间[-1, 3]上的最小值为0，最大值为ln(10)
供参考。

Answer 2

要求函数y=ln(x^2+1)在[-1,3]上的最大值和最小值，我们可以先求出函数在区间内的导数，然后找出导数为零的点。
首先，计算函数的导数。根据链式法则，函数的导数为：
y' = 2x / (x^2+1)
接下来，我们需要找出导数为零的点。令y' = 0，我们可以得到：
2x / (x^2+1) = 0
由于分母不可能为零，所以导数为零的点不存在。
接下来，我们需要找出函数的临界点。由于函数在区间内是连续的，并且导数不存在为零的点，所以函数的最大值和最小值将出现在区间的端点上。
计算函数在区间端点的值：
y(-1) = ln((-1)^2+1) = ln(2)
y(3) = ln(3^2+1) = ln(10)
因此，在区间[-1,3]上，函数y=ln(x^2+1)的最大值为ln(10)，最小值为ln(2)。

Answer 3

ymin=0

ymax=ln10