Question

高二数学在线等，帮下忙！

过抛物线y平方=2x的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB
（1）求AB中点的轨迹方程
（2）求证：直线AB过定点

Answer 1

(1)
y^2=2x
令A(Xa,Ya),B(Xb,Yb),AB中点为D(Xd,Yd)
则有A、B在抛物线上得
Ya^2=2Xa(式1)
Yb^2=2Xb（式2）
OA,OB互相垂直得
Ya/Xa*Yb/Xb=-1（式3）
则(式1)乘以（式2）除以[（式3）平方]得
Xa*Xb=4（式4）
则由（式3）得YaYb=-Xa*Xb=-4
则(式1)加上（式2）得
Ya^2+Yb^2=2(Xa+Xb)
化为
(Ya+Yb)^2-2YaYb=2(Xa+Xb)=(Ya+Yb)^2-2*(-4)=(Ya+Yb)^2+8（式5）
而Xa+Xb=2Xd
Ya+Yb=2Yd
所以（式5）化为2*（2Xd）=（2Yd）^2+8
化简为Xd=Yd^2+2
即AB中点的轨迹方程为X=Y^2+2
(2)直线AB的方程为
(Xa-X)/(Ya-Y)=(Xb-Xa)/(Yb-Ya)（式6）
由(1)中（式2）减（式1）得
Yb^2-Ya^2=2（Xb-Xa）
化为(Xb-Xa)/(Yb-Ya)=(Yb+Ya)/2
代入（式6）得(Xa-X)/(Ya-Y)=(Yb+Ya)/2
Y=2(X-Xa)/(Yb+Ya)+Ya
=(2X-2Xa+YbYa+Ya^2)/(Yb+Ya)
=(2X-2Xa-4+2Xa)/(Yb+Ya)
=2(X-2)/(Yb+Ya)
当X=2时，Y=0
则直线AB过定点 （2，0）

Answer 2

解：

设A和B的纵坐标分别为a和b，则

A(a²/2,a)，B(b²/2,b)

AB的中点为(x,y)=((a²+b²)/4,(a+b)/2)

OA⊥OB

∴向量OA·向量OB=0

(ab)²/4+ab=0

ab≠0,

∴ab=-4

y²=(a²+b²+2ab)/4=(a²+b²)/4+ab/2=x-2

即AB的中点轨迹方程是y²=x-2，

(2)A和B不重合，所以a≠b，

直线AB为：

(x-a²/2)/(b²/2-a²/2)=(y-a)/(b-a)

(2x-a²)/(b+a)=y-a

2x-a²=by+ay-ab-a²

2x=(b+a)y-ab

∵ab=-4

∴(a+b)y=2(x-2)

∴恒过点(2,0)

得证

谢谢