已知x=1/(1+ x)^3,则x=?
解:
设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n,则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]',
又,∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]',
而在其收敛域内,∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x),
∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2,
∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3。
幂函数的性质:
一、当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
1、当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
4、当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
二、当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
1、当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增。
2、当α>0,分母为奇数时,若分子为偶数,函数在第一象限内单调递增,在第二象限单调递减;若分子为奇数,函数在第一、三象限各象限内单调递增。
3、当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减。
4、当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。
三、当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);当0<α<1时,幂函数图形上凸(横抛)。