Question

二重积分的上下限什么时候取函数什么时候取常数？

Answer 1

二重积分中上下限的取值依据以下规则:1) 如果限定积分的内层函数(内积分函数)包含自变量x,且x与外层函数(外积分函数)的自变量y无关,则内层积分的上下限取值为常数。2) 如果内层积分函数包含x,且x与外积分函数的自变量y有关,则内层积分的上下限应取外积分函数中与y相关的部分。3) 如果内层积分函数不包含自变量x,则内层积分的上下限视情况而定,可以取常数,也可以取外积分函数的相应部分。举几个例子来说明:例1: ∫∫_1^3 ∫(-2)^3 (x+y) dA
这里内层函数(x+y)包含自变量x,且x与外层自变量y无关,则内层积分上下限取常数-2和3。例2: ∫∫_(x^2+1)^4 ∫(x^3)^(x^2+y) (x+y) dA
这里内层函数(x+y)包含自变量x,且x与外层自变量y有关(x^2+y),则内层积分上下限应取外积分函数(x^3)的相应部分(x^2+y)。例3: ∫∫_0^2 ∫_1^3 sin(y) dx dy
这里内层函数sin(y)不包含自变量x,则内层积分上下限可以取常数1和3,也可以根据外层积分而定,在此例取常数。所以,二重积分中内层积分上下限的取值依赖于内层积分函数是否包含自变量x以及x与外层积分是否有关。理解这层关系,可以正确地判断上下限应取常数还是外积分函数的相应部分。