Question

f(x+3)=-f(x),g(x)=f(x)-2为奇函数则f(198)=？

Answer 1

f(x+3)=-f(x)
g(x)=f(x)-2
为奇函数：
g(-x)=f(-x)-2
g(-x)=-f(x)+2
f(x)=4-f(-x)
f(0)=2
f(x+3)=-f(x)
f(x-3)=-f(x)
f(x+6)=f(x)
T=6
f(198)=f(4)
f(x)+f(-x)=4
f(x+2)+f(-2-x)=4

追答

f(x+3)=-f(x)
g(x)=f(x)-2
为奇函数：
g(-x)=f(-x)-2
g(-x)=-f(x)+2
f(x)=4-f(-x)
f(0)=2
f(x+3)=-f(x)
f(x-3)=-f(x)
f(x+6)=f(x)
T=6
f(198)=f(4)
f(x)+f(-x)=4
f(x+2)+f(-2-x)=4

Answer 2

根据题目提示可知：
g(x)=f(x)-2 为奇函数，则满足 g(-x)=-g(x)。
因为 g(x) = f(x) - 2，所以有 f(x) = g(x) + 2 。
因此，可以将上述式子代入奇函数的性质中得到：
g(-(x+3))+2=-g(x+3)+2
化简得到：
-g(x+3) + 2 = -g(x) + 2
即：
g(x+3) = g(x)
由此得知，g(x) 以 3 为周期。因为 g(x) 以 x = 0 为对称轴，所以 g(x+6) = g(x)。而因为 g(x) 以 3 为周期，所以 g(x+6) = g(x+3)。于是，有：
g(x+3) = g(x) = g(x+3+6)
又因为 g(x+3) = f(x+3) - 2，故可得：
f(x+3) - 2 = f(x+9) - 2
即：
f(x+3) = f(x+9)
因此，f(x) 满足以 6 为周期的性质，有：
f(198) = f(198-9x22) = f(162)
由 f(x+3) = -f(x) 可知：
f(x+6) = -f(x+3) = f(x)
f(x+12) = f(x+6+6) = f(x+6) = f(x)
因此，f(x) 以 12 为周期。
将 198 对 12 取余数，得 6，因此：
f(198) = f(198-6) = f(192)
将 192 对 12 取余数，得 0，因此：
f(192) = f(0) = -f(3) = f(0+3) = -f(3+3) = f(0+6) = -f(6)
不过这里给出的题目信息不足以推出一组唯一的答案，因此无法得出 f(198) 的具体值。