Question

关于X的一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c≠0）

（1）有一个根是1，常数项是10；

（2）有一个根是 -1，一次项系数是-5；

（3）有一根是√2，二次项系数是1.

要过程。

Answer 1

1）
有一个根是1，常数项是10
那么c=10
△=b²-40a=0
a+b+10=0
所以b=-10-a
100-20a+a²=0
a=10
b=-20
2）一次项系数是-5，那么b=-5
△=b²-4ac=25-4ac=0 4ac=25
a-b+c=0
a+c=b=-5
带入△得到
4a（-5-a）=25
25+20a+4a²=0
（2a+5）²=0
a=-5/2
c=-5-a=-5+5/2=-5/2

3）有一根是√2，二次项系数是1.
a=1
所以△=b²-4c=0
2+√2b+c=0
b²+4（2+√2b）=0
b²+4√2b+8=0
（b+2√2）²=0
b=-2√2
2-4+c=0
c=2
所以a=1 b=-2√2 c=2

Answer 2

解：
(1)
x=1,c=10代入方程。
a+b+10=0
设另一根为x1,则由韦达定理，
1+x1=-b/a
1*x1=10
解得b=-11a，代入a+b+10=0
a-11a+10=0
10a=10 a=1 b=-11
方程为x^2-11x+10=0，两根为1,10.

(2)
x=-1 b=-5代入方程。
a+5+c=0
设方程另一根为x1,由韦达定理，
-1+x=5
-1*x=c
解得c=-6，代入a+5+c=0，解得a=1
方程为x^2-5x-6=0，两根为6,-1

(3)
x=√2,a=1代入方程
2+√2b+c=0 c=-√2b-2
设方程另一根为x1,由韦达定理，得
√2+x1=-b
√2x1=c
解得c=-b-√2
方程的解不定，只要满足c=-b-√2,有一确定根为√2，另一根不定。

结论：
1.已知方程的一根和常数项或一次项系数，方程是唯一的，解也是确定的。
2.已知方程的一根和二次项系数，并不能确定唯一方程。