Question

一元二次方程的通解怎么求？

Answer 1

∵dy/dx＝4xy/（x^2＋y^2），∴dx/dy＝（x^2＋y^2）/（4xy），∴4dx/dy＝x/y＋y/x。
令x/y＝u，则x＝uy，∴dx/dy＝u＋ydu/dy，∴4u＋4ydu/dy＝u＋1/u，
∴4ydu/dy＝1/u－3u＝（1－3u^2）/u，∴［4u/（1－3u^2）］du＝（1/y）dy，
∴2∫［1/（1－3u^2）］d（u^2）＝∫（1/y）dy，
∴－（2/3）∫［1/（1－3u^2）］d（1－3u^2）＝ln｜y｜＋lnC，
∴－（2/3）ln｜1－3u^2｜＝ln｜Cy｜，∴｜1－3u^2｜^（－2/3）＝｜Cy｜，
∴｜1－3x^2/y^2｜^（－2/3）＝Cy，∴｜（y^2－3x^2）/y^2｜^（－2/3）＝Cy，
∴［y^4/（y^2－3x^2）^2］^（1/3）＝Cy，∴y^4/（y^2－3x^2）^2＝Cy^3，
∴y＝C（y^2－3x^2）^2。
∴原微分方程的通解是：y＝C（y^2－3x^2）^2。
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方法二：
∵dy/dx＝4xy/（x^2＋y^2）＝4/（x/y＋y/x），
∴可令y/x＝u，则：y＝xu，∴dy/dx＝u＋xdu/dx＝4/（u＋1/u）＝4u/（1＋u^2），
∴xdu/dx＝4u/（1＋u^2）－u＝u（4－1－u^2）/（1＋u^2）＝u（3－u^2）/（1＋u^2），
∴｛（1＋u^2）/［u（3－u^2）］｝du＝（1/x）dx，
∴｛［4－（3－u^2）］/［u（3－u^2）］｝du＝（1/x）dx，
∴｛4/［u（3－u^2）］｝du－（1/u）du＝（1/x）dx，
∴∫｛4/［u（3－u^2）］｝du－∫（1/u）du＝∫（1/x）dx，
∴2∫｛1/［u^2（3－u^2）］｝d（u^2）－ln｜u｜＝ln｜x｜＋lnC，
∴（2/3）∫［1/u^2＋1/（3－u^2）］d（u^2）－ln｜u｜＝ln｜x｜＋lnC，
∴（2/3）ln（u^2）－（2/3）ln｜3－u^2｜－ln｜u｜＝ln｜x｜＋lnC，
∴u^（4/3）/［｜u｜（3－u^2）^（2/3）］＝C｜x｜，
∴u^4/［u^3（3－u^2）^2］＝Cx^3，
∴u/（3－u^2）^2＝Cx^3，∴（y/x）/［3－（y/x）^2］^2＝Cx^3，
∴y/x＝Cx^3［3－（y/x）^2］^2，∴y＝C（3x^2－y^2）^2＝C（y^2－3x^2）。
∴原微分方程的通解是：y＝C（y^2－3x^2）。