Question

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立。

(1).求证f(1)=f(-1)=0,且f(1/x)=-f(x)(x≠0)
(2).判断f(x)的奇偶性
(3).若f(x)在（0，+∞）上单调递增，解不等式f(1/x)-f(2x-1)≥0

Answer 1

f（xy）=f（x）+f（y）
取x=y=1,f(1)=f(1)+f(1)所以f(1)=0
取x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0
f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0,所以f(1/x)=-f(x)

2)
f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数
3）f(1/x)-f(2x-1)≥0 ，
f(1/x)≥0 f(2x-1）
1/x≥2x-1,得-1/2<=x<=1
又x>0,2x-1>0,所以x>1/2
综上1/2<x<=1

Answer 2

分别令y=1,-1 可得f(1)=f(-1)=0
令y=1/x 可f(1/x)=-f(x)；

y=-1时，有f（-x）=f（x），为偶函数
当y=f（x）=0时，即为偶函数也为奇函数；

|1/x|≥|2x-1|解得-1/2≤x≤1

Answer 3

证明：令x=0， y=0根据f（xy）=f（x）+f（y）则f（0）=2f（0）
∴f（0）=0令x=1,y=0可得f（0）=f（1）+f（0）
∴f(1)=0同理令x=-1,y=0可得f(-1)=0
令y=1/x，x≠0则f(x*1/x)=f（x）+f（1/x）=f(1)=0
∴f(1/x)=-f(x)(x≠0)
(2)y=-1时，f（-x）=f（x），偶函数
(3)f(1/x)-f(2x-1)≥0
即f(1/x)≥f(2x-1）则1/x≥2x-1,得-1/2<=x<=1
又x>0,2x-1>0,∴x>1/2
1/2<x<=1
又因为是偶函数（小于0就是递减）
所以还有1/x《2x-1《0，此时-1/2≤x≤0
所以有两个解集

Answer 4

1）令x=1,y=0。 ∴ f(1×0)=f(0)+f(1) ∴f(0)=f(0)+f(1) ∴f(1)=0
再令x=-1,y=0。 ∴f[(-1)×0]=f(1)+f(0) ∴f(-1)=0
∴f(-1)=f(1)=0
2) 令y=-1 ∴f(-x)=f(-1)+f(x) ∵由(1)知 f(-1)=0 ∴f(x)=f(-x)
∴f(x)为偶函数