Question

半径为5的圆O内有一点P,且OP=4 则过点P的最短弦长为（ ），最长弦长为（ ）

最短的就是6 最长是10
最短的就是垂直于op的 最长的就是经过op的也就是直径
为什么呢？

Answer 1

在圆中，直径是最长的弦，，，所以最长的是过op的直径

垂直于op的弦是最短的，可以简单的证明一下：

任作一条过p的弦CD，设AB是过p点且垂直于op的弦

由相交弦定理，CP*DP=AP*BP=定值

由均值不等式，4*CP*DP<=(CP+DP)^2

即，cp+dp>=2倍根号项CP*DP，当且仅当cp=dp时取等号

cp+dp就是过p点的弦长，所以 弦长>=2倍根号项CP*DP

当且仅当cp=dp时取得最小值，此时CD与AB重合，所以AB就是最短弦

如果你还没上高中，没学过均值不等式，也可以观察图形的变化。
弦长的一半 (d/2)^2=(r/2)^2-(弦心距)^2
圆的半径是定值，所以当弦心距最大时，d有最小值
很明显，当弦与op垂直时，弦心距最大；当弦与op重合时弦心距最小（为0）

所以，弦与op垂直时，最短；弦与op重合时最长

Answer 2

半径为5的圆O内有一点P,且OP=4
则过点P的最短弦长为（
6），最长弦长为（10
）

Answer 3

半径为5的圆O内有一点P,且OP=4
则过点P的最短
弦长
为（
6），最长弦长为（10
）

Answer 4

因为过一点垂直于已知线段的直线最短。再圆内最长的弦为直径。