Question

高三数学对数函数一题！急！！

已知函数f(x)=㏒4（4x+1）+2kx(k属于R）是偶函数。（这里的4x就是4的x次方，实在不会打成标准的了，嘿嘿，谅解谅解。。。）
（1）求K的值
（2）若方程f(x)=m有解，求m的取值范围。

请详细解答，感激不尽！

Answer 1

(1)∵函数f(x)=㏒4（4^x+1）+2kx(k属于R）是偶函数
∴f(-x)=f(x)
而f(-x)=log4[4^(-x)+1]-2kx=log4[(1+4^x)/4^x]-2kx=log4(1+4^x)-x-2kx
f(x)=㏒4（4^x+1）+2kx
∴-x-2kx=2kx恒成立
∴1+4k=0
k=-1/4
(2)方程f(x)=m有解,即求函数f(x)=㏒4（4^x+1）-x/2的值域
∵f(x)=㏒4（4^x+1）-x/2
=log4[(4^x+1)/4^(x/2)]
=log4[(4^x+1)/2^x]
=log4(2^x+1/2^x)≥log4(2)=1/2
∴m的取值范围是:m≥1/2

Answer 2

（1）因为是偶函数，f（-x）=f（x）；
列式子：log4(4(-x)+1)-2kx=log4(4x+1)+2kx
log4(4(-x)+1)-log4(4x+1)=4kx
log4(4(-x))=4kx
-x=4kx
k=-1/4;