Question

大一高数题（运用零点存在定理）

证明方程x=asinx+b(a,b>0)至少有一个正根
解题思路是f(0)<0,f(a+b+1)>0 我不明白的就是为什么会想到令x=a+b+1，有什么用还有怎么继续做下去（零点存在定理的实质其实我还没有理解到位T^T）求问！ 谢谢！

Answer 1

本题可以取x=a+b+k(其中k>0)
令f(x)=x-asinx-b
因为
f(0)=-b<0
f(a+b+k)=a+b+k-asin(a+b+k)-b=a[1-sin(a+b+k)]+k>0
∴f(x)=x-asinx-b在(0，a+b+k)上满足f(0)f(a+b+k)<0恒成立
即方程x=asinx+b(a,b>0)至少有一个正根

之所以不取x=a+b，是因为存在a、b，使f(a+b)=0，不完全满足零点存在定理成立条件

Answer 2

其实只需要令x=a+b就可以了，解题思路如下：
令f(x)=x-asinx-b,显然f(0)=-b<0,
因为sinx≤1,所以只需x≥a+b,就可以保证f(x)>x-a-b>0
所以方程f(x)=0在区间（0，a+b）之间有零点，即方程x=asinx+b在区间（0，a+b）之间有根。