Question

已知抛物线 y=mx2+（m-3）x-1 求证：

1）抛物线与x轴总有两个交点 (2） 若抛物线与x轴交与A，B两点，且A，B两点的距离为1，求这个二次函数的解析式

Answer 1

判别式=m²-6m+9+4m
=m²-2m+9
=(m-1)²+8>0
所以与x轴总有两个交点

由韦达定理
x1+x2=-(m-3)/m
x1x2=-1/m
|x1-x2|=1
所以(x1+x2)²-4x1x2=1²
(m²-6m+9+4m)/m²=1
m=9/2
y=9x²/2+3x/2-1

Answer 2

-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
=(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)
则分母(1+x1²)(1+x2²)>0

分子x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-x1x2(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1<x2,所以x1-x2<0
-1<x1<1,-1<x2<1
所以-1<x1x2<1
则1-x1x2>0
所以分子小于0
所以(x1+x1x2²-x2-x1²x2)/(1+x1²)(1+x2²)<0

即-1<x1<x2<1时f(x1)<f(x2)
所以是增函数