Question

一阶连续导数怎么证明

Answer 1

对于一阶连续可导函数f(x)，我们需要证明：

?x∈(a,b)，lim Δx→0 (f(x Δx)-f(x))/Δx存在

证明：

因为函数f(x)是一阶连续可导函数，根据导数定义有：

f'(x) = lim Δx→0 (f(x Δx)-f(x))/Δx

也就是说，f'(x)就是f(x)在x处的导数，是可导的。

那么对于一个x在(a,b)的任意点，我们可以将其表示为x=x0 Δx，其中x0∈(a,b)，Δx为极小增量。

当Δx趋近于0时，由导数的定义，有：

f'(x) = lim Δx→0 (f(x Δx)-f(x))/Δx = lim Δx→0 (f(x0 Δx)-f(x0))/Δx

这说明f(x)在x处是一阶连续可导的，证毕。

需要注意的是，一阶连续可导并不一定代表二阶导数存在，也就是说，可能存在某些点的导数为无穷大或不存在。