Question

设齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A、B均为m*n矩阵，则下列命题正确地是1、3 若AX=0的解均是BX=0的解，则r

2、若r(A)>=r(B)，则AX=0的解均是BX=0的解
3、若AX=0和BX=0同解，则r(A)=r(B)
4、若r(A)=r(B)，则AX=0和BX=0同解
不明白 麻烦您详解 要是有证明更好啦
还有，方程个数<未知数个数，则方程必有非零解，为什么呢

Answer 1

r(B)<=r(A)
AX=0的解集的秩：n-r(A)
BX=0的解集的秩：n-r(B)
若AX=0的解均是BX=0的解，则可理解为后一个方程解不比第一个少，（指的是线性无关的解），所以
n-r(A)<=n-r(B),即r(B)<=R(A)
题没写完，可以得出这个结论。

2，4太简单了，很容易找出反例的。3是正确的。可以用上面的解释，解相同，解集的秩相同，所以
n-r(A)=n-r(B),r(A)=r(B)
方程个数<未知数个数，则方程必有非零解,这是很显然的，因为这时必然有自由变量，这些变量随便取一个值（不要全为0）就得到了一组非零解，这时一定会有无穷多个解
不明白有机会再讨论吧。