Question

现有一道高一数学例题，在该例题的第二种解法中，有些地方看不懂，不知能不能请大家帮忙给指教一下？

一道高一数学例题。
解方程sin5x＝sin4x
解法一：移项并运用三角函数的和差化积公式，得
Sin5x－sin4x=0
2 cos•9x/2 •sin•x/2＝0
cos9x/2＝0 或 sinx/2＝0
由cos9x/2＝0，得9x/2＝2kπ±π/2 (k∈z) 即
X=4/9 kπ±π/9 (k∈z).k
由sinx/2＝0, 得x/2＝kπ (k∈z),即
X=2kπ (k∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=4/9 kπ±π/9, (k∈z)} U {x|x=2kπ, (k∈z)} ＝ { x|x=4/9 kπ±π/9,或x=2kπ，k∈z }。

解法二：因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}, 所以原方程可以化成
5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
当k是偶数2n（n∈z）时，上式成为5x=2nπ+4x，由此可得
X=2nπ （n∈z）。
当k是奇数2n+1（n∈z）时，上式成为5x=(2n+1) π－4x，由此可得
9x=(2n+1) π （n∈z），
即
X=1/9(2n+1) π ， （n∈z）.
所以原方程的解集是
{x|x=2nπ , n∈z}∪{x|x=1/9(2n+1) π , （n∈z）}=
{x|x=2nπ ,或X=1/9(2n+1) π ， （n∈z）}。
（该例题的两种解法，虽然得到的解集的表示形式不同，但因为当n是偶数2k时，1/9(2n+1) π成为1/9(4k+1) π；当n是奇数2k－1时，1/9(2n+1) π成为1/9(4k－1) π；所以实质上{x | x=1/9(2n+1) π ， （n∈z）}与{x|x=1/9(4k±1) π, k∈z}是相等的集合。就是说，两种解法所得的解集是相同的。
在第二种解法中，从“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}, 所以原方程可以化成”是怎样化成“ 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
”？就这一步看不明白
烦请高手给以详细解答，在下不胜感激。
我现在思想上有很大疑问。比方说，我们知道sin·5π/6=sin·π/6,然而，能利用“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}”这一说法，将原式“sin·5π/6=sin·π/6”化成5π/6=kπ + (－1) ^k•π/6吗？首先当k=0时，等号两边都不相等。那么，该例题的第二种解法，还能说得过去吗？
我们知道，两个角的正弦值相同，但是，这两个角的大小并不一定相等，等号两边的“sin”符号，也不是随随便便就可以去掉的。有的朋友说，当k=1时，原式 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
成立，是，我要认为成立。可是，例题中的框释为什么表明“(k∈z)”呢？而不直接写明“k=1”呢？

Answer 1

sinA 和 sinB 两个值相等的话
首先 可能有关系 A=2kpi + B
另外 由于 pi-A 与 A 的sin值也相同
所以 2kpi+pi -A 与 A 的sin值也相同
就是所以B与A的关系还可能是
A =（2k+1）pi - B
除了这两种关系，就没别的关系了

注意 -1 可以写成 (-1)的2k+1次方的形式
1可以写成-1的2k次方的形式

A =（2k+1）pi - B
A=2kpi + B

这个形式就可以统一了

A=nπ+ (－1) ^nB

A = 5x
B = 4x

就得到了答案

Answer 2

解法二的思路就是考虑正弦函数值相同的角的关系，两个角α，β如果正弦值相同的话那么就有α+β=（2n+1）π 或者 α=β+2nπ
综合一下 就是 β= kπ-α（k为奇数）
β= kπ+α（k为偶数）
所以可以写成 β= kπ +（-1）^kα，k∈z

接下来只要把4x和5x分别替代α和β就好了

Answer 3

因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}

这个不理解吗？

它是这样的，当k是偶数时，设k=2n
sin[2nπ+(-1)^2n*α]=sinα（诱导公式）
当k是奇数时，设k=2n+1
sin[(2n+1)π+(-1)^(2n+1)*α]=sin(π-α)=sinα

看了你的补充，我觉得你应该是没理解一般与特殊的关系
你说的那种是特殊情况，而解法二是一般情况，即是说相当于是数列的通项公式
对于你任何举的特殊例子，在通项公式总能找到一项与之对应
比如你说的sin·5π/6=sin·π/6，你套进一般公式，就会发现k=1。所以你套k=0进去是不会相等的
对于题目的解，自然是要把它的一般公式给解出来，即是说相当于解数列的通项公式

希望你能从一般与特殊的方面去考虑

Answer 4

看一下正弦曲线。画一条水平线。。。。。然后就得到：与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z},把4x和5x带进去。。 所以原方程可以化成”是怎样化成“ 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).

Answer 5

意思是如果SINa=SINx 则x= kπ + (－1) ^k?α 这是相同正弦值的集合
不知道你是哪个地方不懂