Question

如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是边BC任意一点，∠ADE=60°，且DE与∠ACB的外角平

分 线CE相交于点E．若D在CB的延长线上，AD=DE是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

延长EC，截取CF=DC，连接DF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACD=60°
∵CE是∠ACB外角的平分线
∴∠ACE=120°/2=60°
∴∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=180°-60°-60=60°
∵CF=DC
∴△CDF是等边三角形（两腰相等，顶角60°）
∴DC=DF，∠CDF=∠CFD=∠EFD=60°
∵∠ADE=∠CDF=60°
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC
即∠ADC=∠EDF
在△ACD和△EDF中
DC=DF，∠ADC=∠EDF，∠ACD=∠EFD=60°
∴△ACD≌△EDF(ASA)
∴AD=DE
（2）

向左转|向右转

∵DF‖AC
AF＝DC
∠BFD＝∠BDF＝∠B＝60°
∠AFD＝180°－60°＝120°
∵∠ACB＝60，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠ACE＝1/2×(180°-∠ACB)=60°
∠DCE=120°
∵∠FAD=∠BFD-∠ADF=60-∠ADF
∵∠CDE=180°-∠FDB-∠ADE-∠ADF=180°-60°-60°-∠ADF=60°-∠ADF
∴∠FAD=∠CDE
∠AFD＝∠DCE
AF＝DC
△AFD≌△DCE
AD=DE

2、

向左转|向右转

做DF‖AC，交BA延长于F
AF＝DC，∠CAD＝∠ADF
∠F＝60°
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝∠ACE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠ACE＝60°，∠ADE＝60°
∴∠CAD＝∠DEC＝∠ADF
△AFD≌△DCE
AD=DE
3、

向左转|向右转

做DF‖AC，交AB延长于F
∠F＝60°
∠DBF＝∠ABC＝60°
△DBF是等边三角形，DB＝BF
AF＝AB+BF
DC＝BC+DB
∴AF＝DC
∵∠ACB＝60°，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠DCE＝60°
∠F＝∠DCE
∵∠EDC＝∠ADE－∠ADC＝60°－∠ADC
∵∠DAF＝∠ABC－∠ADC＝60°－∠ADC
∴∠EDC＝∠DAF
△AFD≌△DCE
AD=DE