Question

如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=四分之三，点D、E分别是边BC、AC上的点，

如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=四分之三，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在边AB上，则DE的长为

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Answer 1

解：记C落在AB边上的对应点为M，连接CM交DE于N
cot∠A=AC/BC=3/4，AC=3，所以BC=4，AB=5
因为沿DE对折，所以DE是CM垂直平分线，∠EDC+∠MCB=90
因为∠EDC=∠A，所以∠EDC+∠B=90
因此∠MCB=∠B，BM=CM
∠A+∠B=∠MCA+∠MCB=90
所以∠A=∠MCA，CM=AM
因此AM=BM，M为AB中点，CM为斜边上中线
CM=AB/2=5/2
N在CM垂直平分线上，所以CN=CM/2=5/4
∠EDC+∠DEC=90，所以∠DEC=∠B
又有∠BCA=∠ENC=90，所以△ABC∽△CEN
CN：CE=AC：AB=3：5
CE=5CN/3=25/12
∠DEC=∠B，∠ACB=∠DCE=90
所以△DEC∽△ABC
CE：DE=BC：AB=4：5
DE=5CE/4=125/48

Answer 2

设C点折叠后到AB上的对应点为C'
由题意得C'C是垂直DE的，于是角C'CB=角C’BC，故三角形C‘BC为等腰三角形
C’B=C‘C，tanB=AC/BC=3/4,cosB=(BC/2)/C'B=4/5
C'C=C'B=5/2
DC=C'C/2/cosB=5/4 /(4/5)=1,EC=DC/tanB=4/3
DE=√(1+(4/3)²)=5/3

追问

不好意思，答案是48分之125,

追答

设C点折叠后到AB上的对应点为C'
由题意得C'C是垂直DE的，于是角C'CB=角C’BC，故三角形C‘BC为等腰三角形
C’B=C‘C，tanB=AC/BC=3/4,cosB=(BC/2)/C'B=4/5
C'C=C'B=5/2
DC=C'C/2/cosB=5/4 /(4/5)=25/16,EC=DC/tanB=4/3 *25/16
DE=√((25/16)²+(4/3 *(25/16))²)=5/3*25/16=125/48