Question

高数重积分

求∫∫∫zdv，其中z=x2+y2,z=1,z=2围成的区域。。（用柱面坐标的方法）

Answer 1

这是一道易错题。
积分区域在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤2，在D内任取点(x,y)，作z轴平行线，它与积分区域的边界的交点有两种情况：当x^2+y^2≤1时，平行线与z=1与z=2相交，当1＜x^2+y^2≤2时，平行线与z=x^2+y^2与z=2相交。所以积分区域分为两部分，在柱面坐标系下，两个区域分别表示为：
0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，1≤z≤2与0≤θ≤2π，1≤ρ≤√2，ρ^2≤z≤2。
∫∫∫zdv＝∫(0到2π) dθ ∫(0到1) ρdρ ∫(1到2) zdz + ∫(0到2π) dθ ∫(1到√2) ρdρ ∫(ρ^2到2) zdz
＝2π ∫(0到1) ρ×3/2dρ + 2π ∫(1到√2) ρ×1/2×(4-ρ^4) dρ
＝3π/2+5π/6
＝7π/3