Question

曲线y=f（x）=x³-3ax+b（a≠0）在点（2，f（2））的切线方程是y=8

有这个式子怎么得到：f（2）的导数为0 的？
和f（2）=8的啊？
谢谢

Answer 1

f'(x)=3x^2-3a f'(2)=0得a=4 。切线方程为y=8是平行于x轴的直线，显然这种直线的斜率为0，已知曲线在一点处的切线方程，曲线与切线的关系如下： （画图就比较容易理解了）
曲线 切线
该点的导数 斜率
该点在曲线上 同时该点也在切线上（也就是说该点的坐标也满足切线方程）

Answer 2

曲线f(x)=x³-3ax+b，f'(x)=3x²-3a，在点x=2，曲线斜率k=f'(2)=3*2²-3a=12-3a；由题设可知，该点曲线斜率为零(y=8表示平行于x轴的一条直线)，代入上面结果f'(2)=3*2²-3a=12-3a=0==>a=4；

于是，曲线表为y=f(x)=x³-12x+b，
代入x=2==>f(2)=-16+b；因为过点(2,f(2))的切线方程为y=8，故该点的y坐标=8

Answer 3

函数f（x）=x³-3ax+b的导数f'(x)=3x^2-3a,因为方程y=8的斜率是0，
所以f'(2)=3x^2-3a=12-3a=0，
因为点（2，f（2））在曲线y=f（x）=x³-3ax+b上，所以f（2）=8

Answer 4

切线y=8 是一条平行于x轴的直线， 所以在x=2处切线斜率为0，也就是x=2的导数为0
y的导数=3x^2-3a
x=2时12-3a=0 a=4
在x=2处切线方程为
y-f(2)=0*(x-2)
y=f(2)
对比y=8
得f(2)=8

Answer 5

切线y=8是平行于x轴的直线，因此其斜率k=0
而切点处的导数就是切线的斜率，所以有f'(2)=0
而切点(2,f(2))在切线上，即有f(2)=8了。

Answer 6

由于点（2，f（2））在曲线Y上，因此y=8就是过该点的切线，所以在x=2出切线斜率为0，f（2）的倒数为零,f(2)=8