Question

f(x)是定义在R上的函数，且对于任意x，y属于R，恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时f（x）>1.证明：

（1）当f（0）=1，且x<0时，0<f（x）<1.
（2）f（x）是R上的单调增函数。

Answer 1

(1).x>0时，f（0）=f(x-x)=f(x)·f(-x)=1，所以f(-x)=1/f(x)
因为当x>0时f（x）>1
所以f(-x)范围是（0，1）
所以x<0时，0<f（x）<1

(2).设n为正数
因为f(x+y)=f(x)f(y)
所以当x>0时，f(x+n)=f(x)f(n)
因为当x>0时f（x）>1
所以f(n)>1,所以f(x+n)=f(x)f(n)>f(x)
所以x>0时f（x）是单调增函数

当x=0时，f(0)=[f(0)]²
因为f(0)=f（n-n）=f(n)f(-n)
所以f（0）不等于0，f(0)=1
x>0时f（x）>1=f(0)

当x<0时，f(x)=f(0)/f(-x)
f（0）=1,f(-x)>1
所以0<f(x)<1
f(x-n)=f(x)f(-n)
因为0<f(-n)<1
所以f(x-n)=f(x)f(-n)<f(x)

综上x>0,n>0时，f(-x-n)<f(-x)<f(0)<f(x)<f(x+n)
所以f（x）是R上的单调增函数

Answer 2

1、
令x=1，y=0，则有f(1)=f(0)f(1)，由f(1)＞1，∴f(0)=1
令x＜0，y=-x＞0，则有f(0)=1=f(x)f(y)，由y＞0得f(y)＞1，∴0＜f(x)＜1

2、
要证f(x)是增函数，只需证[f(y)-f(x)]/(y-x)＞0恒成立
任取x＜y，则[f(y)-f(x)]/(y-x)＞0等价于f(y)-f(x)＞0
又f(y)-f(x)=f[(y-x)+x]-f(x)=f(y-x)f(x)-f(x)=[f(y-x)-1]f(x)
∵y＞x，即y-x＞0
∴f(y-x)＞1
∴f(y)-f(x)=[f(y-x)-1]f(x)＞0
得证