Question

已知函数f(x)=ax³－3x （1）当a≤0时，求函数f(x)单调区间； (2

若函数f(x)在区间【1，2】上的最小值为4.求a的值

Answer 1

(1)f(x)=ax^3-3x, f’(x)=3ax^2-3=3(ax^2-1).因为a≤0,所以f’(x)≤0, 所以f(x)在R上是单调递减的

(2)A.当a≤0时，最小值为f(2)=8a-6<0 所以最小值不可能=4，所以a≤0,不合题意
B.当a>0时，令f’(x)=0, 得3ax^2-3=0, x=±√a/a
(-∞, -√a/a),( √a/a,+∞)为单调递增区间，（-√a/a，√a/a）是单调递减区间

(一)当√a/a≤1时，即a≥1, 区间[1,2]是递增区间，所以最小值=f(1)=a-3=4, 此时a=7
（二）当1<√a/a <2时,即 1/4<a<1, 最小值=f(√a/a)=-2/√a<0,不可能=4，
（三）当√a/a ≥2时，即0<a≤1/4, 区间[1,2]是递减区间，
所以最小值=f(2)=8a-6=4, a=5/4不∈（0，1/4],
综上，a=7

Answer 2

1)f'(x)=3ax²-3
当a<=0时，f'(x)<0, 函数在R上单调减。
2)若a<=0,则在[1,2]上单调减，最小值为f(2)=8a-6=4,得：a=5/4, 矛盾；
若a>0,则有极大值点x=-1/√a, 极小值点x=1/√a
若a>1， 则在[1,2]单调增，最小值为f(1)=a-3=4,得：a=7,符合；
若0<a<1/4,则在[1,2]单调减，最小值为f(2)=8a-6=4,得:a=5/4, 矛盾；
若1/4=<a<=1,则最小值为f(1/√a)=-2/√a=4,无解
综合得：a=7