Question

a>0,x∈[-1,1]时，fx=-x²-ax+b的最小值为-1，最大值为1，求使fx取得最小值和

a>0,x∈[-1,1]时，fx=-x²-ax+b的最小值为-1，最大值为1，求使fx取得最小值和最大值时相应的x的值

Answer 1

a＞0，当x∈【-1,1】时，f(x)=-x²-ax+b的最,小值为-1，最大值为1，求使f(x)取得最小
值时卖裂相应的x的值。
解;f(x)=-(x²+ax)+b=-[(x+a/2)²-a²/4]+b=-(x+a/2)²+(a²+4b)/4,这是一条开口朝下的抛物线,
∵a>0,故对称轴x=-a/2<0(即对称轴位置偏左),而定义域[-1,1]关于原点对称,故最小值应该
发生在x=1处,也就是有
f(1)=-1-a+b=-1,故-a+b=0......................(1)
当-1≤-a/2<0时,0<a≤2.最大值发生在其顶点处,也就是有 (a²+4b)/4=1
即有a²+4b-4=0......................................(2)
(1)(2)联立解得 a=b=-2+2√2, (另一解a=-2-2√2舍去)
此时,f(x)=-x²-(-2+2√2)x-2+2√2=-{[x-(-1+√2)]²-(3-2√2)]}-2+2√2=-[x-(-1+√2)x]+1
a=-2+2√2>0, 最大局桐值f(-1+√2)=1, 最小值f(1)=-1-(-2+2√2)-2+2√2=-1(即中腊闭f(x)取最小值-1
时相应的x=1)
满足题目要求.