Question

设x1=-1/2,xn+1=(xn+1)^2-1，n=1,2,3……证明函数极限limn→∞xn存在，并求之

Answer 1

先用数归证1<xn<=2
n=1显然成立
假设n=k成立
则1<xk<=2
n=k+1
x(k+1)=1/2(xk+1/xk)
因为1<xk<=2
1/2<1/xk<=1
1<3/2=(1+1/2)/2<x(k+1)=1/2(xk+1/xk)<=1/2(2+1)=3/2<2
所以对于n=k+1也成立 1<x(k+1)<=2
所以xn是有界数列
下证其单调减
xn+1-xn
=1/2(xn+1/xn)-xn
=1/2(xn+1/xn-2xn)
=1/2(1/xn-xn)
=(1-xn^2)/(2xn)<0,因为刚证过xn>1
所以xn是一单调有界数列
所以极限必存在（单调有界必有极限）

令n->∞
极限x=limn->∞ xn满足
x=1/2(x+1/x)
2x=x+1/x
x=1/x
x^2=1
x=1(舍去负值，因为xn>1)
所以极限为1