Question

求函数f(x)=log2(2x)*log1/4(x),x∈〔1/2，8〕的值域

Answer 1

借用<>表示底数，如log<a>x表示a为底数的真数为x的对数.

函数f(x)=log<2>(2x) ×log<1/4>x
=(1+log<2>x)(-1/2)(log<2>x)
=(-1/2) (1+log<2>x) (log<2>x)，x∈(1/2，8),

设t=log<2>x，则-1<x<3，
f(x)=(-1/2)t(t+1)，求二次函数的值域，
∴-6<f(x)≤1/8，即所求函数的值域为(-6，1/8].

Answer 2

解：设M=log2(x)
f(x)=log2(2x)*log1/4(x)
=[log2(2)+log2(x)]*log[2^(-2)](x)
=-2[1+log2(x)]*log2(x)
=-2[1+M]M
=-2M²-2
∵x∈〔1/2，8〕
∴M=log2(x)∈〔-1，3〕
∴M²∈〔0，9〕
∴-2M²-2∈〔-20，-16〕
即f(x)∈〔-20，-16〕