Question

如图,BC是圆O的直径,AD垂直BC于D,点A是弧BF的中点,BF与AD交与E求证：

(1)AE=BE（2）AB²=BE·BF（3）若A，F吧半圆三等分，BC=12，求AE的长

Answer 1

（1）证明：延长AD于圆交于点G
BC为直径，且BC⊥AD，
根据垂径定理，弧AB=弧BG
A为弧BF中点，所以弧AF=弧AB=弧BG
∠BAG和∠ABF分别为弧BG、弧AF所对圆周角
因此∠BAG=∠ABF，AE=BE
（2）证明：连接AF
∠AFB为弧AB所对圆周角，所以∠AFB=∠BAE
又有∠ABF=∠ABE，所以△ABE∽△FBA
BE：AB=AB：BF，
AB²=BE×BF
（3）连接CF
∠BFC为直径所对圆周角，所以∠BFC=90
A、F三等分半圆，所以弧AB、弧AF、弧CF都为60度的弧，所对圆心角都为60度
∠FBC为弧CF所对圆周角，因此∠FBC=30
所以RT△BCF中，CF=BC/2=6，BF=√3CF=6√3
同理，连接AC可得，∠BAC=90，∠ACB=30
所以AB=BC/2=6
由（2）中结论，36=6√3BE，所以BE=2√3
由（1）中结论，AE=BE=2√3