Question

计算行列式。不会算，谢谢。

计算行列式 5 3 3 3 3 5 3 3 D= 3 3 5 3 3 3 3 5

Answer 1

D=
5333
3533
3353
3335
解：
D*(1 1 1 1)'=14*(1 1 1 1)'
上面'表示向量转置。显然D*(1 1 1 1)‘就是对原行列式各行求和。

故
D/14=
1111
3533
3353
3335
=
1111
0200
0020
0002
=8
故D=14*8=112

外一则：由
D*(1 1 1 1)'=14*(1 1 1 1)'
看出矩阵有特征值14;
由|矩阵-2E|=0看出矩阵有特征值2.
这有何启发呢？

推广:
题：矩阵A=
yxxx
xyxx
xxyx
xxxy
计算|A|
解：
A*(1 1 1 1)' =y+3x，即某三行加到另一行。此处 '表示转置。
故
A=(y+3x)*
|
1 1 1 1
xyxx
xxyx
xxxy
=(y+3x)/x*
|
xxxx
xyxx
xxyx
xxxy
|
=(y+3x)/x*
|
xxxx
0,y-x,0,0;
0,0,y-x,0;
0,0,0,y-x;
|
=(y+3x)(y-x)^3