Question

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点P(3,1),其中左右焦点分别为F

1,F2,且F1P*F

Answer 1

题目不完整，是这个吗？
已知椭圆E：X^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)，其左右焦点为F1，F2，且向量F1P*F2P=-6
（1）求椭圆E的方程（2）若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？
(1)F1P(3+c,1),F2P(3-c,1)
9-c^2+1=-6
c=4
9/a^2+1/(a^2-16)=1
解得:a^2=18或8(舍)
x^2/18+y^2/2=1
(2)设M点坐标为(5,m),N点坐标为(5,n)
F1M(9,m); F2N(1,n)
F1M*F2N=0
mn=-9
圆的方程为:(x-5)^2+[y-(m+n)/2]^2=(m-n)^2/4
即:x^2-10x+25+y^2+(m+n)y+mn=0
因为mn=-9,方程为:x^2-10x+16+y^2+(m+n)y=0
若x^2-10x+16=0并且y=0,该等式恒成立.所以圆过定点(2,0)和(8,0)