Question

高等数学中函数在某点的方向导数问题

我想教一下，同济版的数学下册的108页的习题9-7的3,7这样的题，在计算函数在内外法线方向处的方向导数时，其内外法向量的取值有何区别？

Answer 1

解:设f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0则有m(x0,y0,z0)点球面的法(外)线l方向存在向量n={fx,fy,fz}|m=2{x0,y0,z0}=2n1
又因为{au/ax,au/ay,au/az}|m={1,1,1}
那么au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
即得上点（x0,y0,z0）处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
完毕.

Answer 2

解:设f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0则有m(x0,y0,z0)点球面的法(外)线l方向存在向量n={fx,fy,fz}|m=2{x0,y0,z0}=2n1
又因为{au/ax,au/ay,au/az}|m={1,1,1}
那么au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
即得上点（x0,y0,z0）处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
完毕.

Answer 3

内外法线（法向量）是相对封闭曲线或封闭曲面而言的概念。
我们知道曲线或曲面上一点处的法向量有两个方向，其中指向封闭曲线（曲面）内部的为内法向，指向封闭曲线（曲面）外部的为外法向。
通常，对常见封闭二次曲面F(x,y,z)=0（平面上封闭曲线同样）利用偏导求得的法向量（F'x,F'y,F'z)的指向就是外法向，内法向只要加个负号。
在习题中你所提到的这两题，一个是椭圆、一个是球面，它们都是封闭的，故它们求偏导方法求得的某点法向量加负号就是内法向，不加负号就是外法向。