Question

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N+，总有an,Sn,an方成等差数列，

数列{bn}中b1=1,b2=2,且有bn+1(n+1为下标）=2bn(n∈N+）成立（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式。（2）设cn= an n为奇数 -bn n为偶数 ，求数列{cn}的前2n项和T2n(3)在第(2)问的条件下，若n方+三分之十-T2n＞1/3λbn对任意n∈N+恒成立，求常数λ的取值范围。

Answer 1

（1）由已知得：2S_n = a_n + (a_n)² ，又 {a_n}各项为正数，所以a_1 = 1
n>1时：2S_n -2S_(n-1) = a_n + (a_n)² - [a_(n-1) + (a_(n-1))²]
化简为：a_n + a_(n-1) = (a_n)² - (a_(n-1))² 所以a_n - a_(n-1) = 1
则{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，即通项公式为：a_n = n ;
因为：b_(n+1) = 2b_n , b_1 =1 ,b_2=2 所以{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，即通项公式为：b_n = 2^(n-1)
(2) T_(2n) = c_1+c_2+……+c_(2n) = a_1 + 1_3 + ……+a_(2n-1) - [b_2 + b_4+……+b_(2n) ]
= (1+2n-1)n/2 - [2(1-4^(n-1))/(1-4) ] = n² - (2/3)4^(n-1) + 2/3
(3) n² + 10/3 - T_(2n) = (2/3)4^(n-1) + 8/3 > 1/3λb_n 对任意的n为正整数恒成立
所以：λ < [2^(2n-1)+8]/b_n 的最小值
而：[2^(2n-1)+8]/b_n = [2^(2n-1)+8]/(2^(n-1)) = 2^n + 2^(4-n) =2^n +16/(2^n) >=8 当且仅当 2^n =16/(2^n)取等号，此时 n=2
则：λ <8