Question

数学大神，求解答

已知函数y=f（x），x∈R，且f（x）不是常函数
①如果f（x+1）=f（x-1），那么函数y=f（x）是周期为2的函数
②如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x）关于x=1对称
③如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x+1）是偶函数
④如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x）是偶函数
⑤如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x-1）与f（-x+1）关于x=1对称
以上命题正确的是

Answer 1

数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。

以上命题正确的是：①如果f（x+1）=f（x-1），那么函数y=f（x）是周期为2的函数
因x+1=（x-1）+2
③如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x+1）是偶函数
⑤如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x-1）与f（-x+1）关于x=1对称
因x-1= -x+1，x=1
不正确：②如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x）关于x=1对称
x+1= -x+1 ，x=0，即 偶函数，如 ③
④如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x）是偶函数，原因见⑤

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

追问

④我的意思是f（x+1）就是f（x），就是x+1是自变量，

追答

重新回答如下：
数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。

以上命题正确的是：
①如果f（x+1）=f（x-1），那么函数y=f（x）是周期为2的函数，因x+1=（x-1）+2
②如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x）关于x=1对称

不正确：
③如果f（x+1）=f（-x+1），那么函数f（x+1）是偶函数，应 f（x+1）=f（-x-1），
④如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x）是偶函数，应 f（x）是奇函数
⑤如果f（x-1）=f（-x+1），那么函数f（x-1）与f（-x+1）关于x=1对称，应相同函数。

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

追问

我的意思是

①②③⑤的自变量是x
④的自变量是x+1

追答

④令x-1=y，则-x+1= -y，即f（y）=f（-y），即f（y）为偶函数、f（x-1）为偶函数，