Question

如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ平行于AB,点P在AC上(不与点A、C重合

),点Q在BC上。（1）当三角形CPQ的边PQ上的高为五分之三时，求△CPQ的中场：（2）当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。

Answer 1

1.因：AB=5,BC=3,AC=4 所以：BC??+AC??=AB??，三角形ABC是RT△：BC垂直AC故S△ABC=ACxBC/2=3x4/2=6，要使△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等；即S△PQC=S△ABC/2
PCxCQ/2=1/2 x ACxBC/2 PCxCQ=ACxBC/2 .............①
又因PQ//AB △CPQ∽ △CAB 所以 PC/AC=CQ/CB CQ=CBx PC/AC............②
把②代入①式得：PCxCBx PC/AC=ACxBC/2
PC??= AC??/2 PC??= 4??/2= 8 PC=2√2
2.因：PQ//AB △CPQ∽ △CAB 所以 PC/AC=CQ/CB=PQ/AB
设PC=a， a/4=CQ/3= PQ/5 故CQ=3a/4 PQ=5a/4

△PQC的周长L1=PC+CQ+PQ= a+3a/4+5a/4=3a
四边形PABQ的周长L2=AB+BQ+PQ+AP=5+(3-3a/4)+5a/4+(4-a)=12-a/2
当L1=L2时，即3a=12-a/2 7a/2=12 a=24/7
当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，PC=24/7.