Question

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过点A作OP的垂线AC交⊙O于点C，延 长BO交PA的延长线于点

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过点A作OP的垂线AC交⊙O于点C，延
长BO交PA的延长线于点E.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若tan∠ABE=1/2，求sinE的值.

Answer 1

证明：
连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB为⊙O的切线

（2）
连接OA，∠AOE=2∠ABE，
所以tan∠AOE=tan2∠ABE=2tan∠ABE/(1-tan∠ABE^2)=4/3.
所以AE/AO=4/3,因为PE为切线，
所以OA垂直PE，设OA为3，AE为4，由勾股定理得OE为5，
所以sinE=OA/OE=3/5