Question

已知方程 x^3-2ax^2-(a+4)x-(a-1)=0有三个不同的实数根,分别为-1,m,n,则m^2+n^2=多少

如题
哪位高人指点一下吧，我自己也没有分数，不好意思那

Answer 1

将x=-1代入方程: -1-2a+a+4-(a-1)=0, 得到a=2
原方程是: x^3-4x^2-6x-1=0
(x^3+x^2)-(5x^2+6x+1)=0
x^2(x+1)-(5x+1)(x+1)=0
(x+1)(x^2-5x-1)=0
其中x=-1是已知的根
那么m,n是x^2-5x-1=0的两个根
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=5^2-2(-1)=27

Answer 2

很明显的是,如果有一个实根是-1，那么，将x代入-1后，该式必须等于0，此时可以求出a的值的！求过a的值，另两个值还不好解吗？

将-1代入x，则
（-1）^3 - 2a(-1)^2 - (a+4)(-1)-(a-1)=0
-1-2a+a+4-a+1=0
4-2a=0
a=2
将2代入a，可知原式
x^3-4x^2-6x-1=0
三个实根分别为-1,m,n则可知
(x+1)(x-m)(x-n)=0
(x+1)[x^2-(m+n)x+mn]=0
其实，x^3-4x^2-6x-1=0也是可以进行分解的，而且没有任何疑问地分解出一个(x+1).
x^3-4x^2-6x-1=0
(x+1)(x^2-5x-1)=0
两式可以看出
m+n=5
m*n=-1

不要试图去解m,n，因为那样太费时间了！
m^2+n^2
=m^2+n^2+2mn-2mn
=(m+n)^2-2mn
=27

看明白了？

Answer 3

把x = -1 代入得:
-1 - 2a + a + 4 - a + 1 = 0
a = 2
所以原方程是x³ - 4x² -6x -1 = 0
因式分解得:
(x + 1)(x² - 5x - 1) = 0
根据韦达定理得:
m + n = 5
mn = -1
所以 m² + n²
= (m + n)² - 2mn
= 5² - 2×(-1)
= 25 + 2
= 27

Answer 4

将-1代入原方程得 a=2.所以原方程为
x^3-4x^2-6x-1=0 (1)
三根为-1，m，n,即原方程可化为
(x+1)(x-m)(x-n)=0 (2)
(2)展开后与(1)比较对应项系数得
(或直接用短除法：方程(1)除以x+1=0得因式
x^2-5x-1=0，再用韦达定理)
m+n=5,mn=-1
所以 m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=25+2=27.