Question

高一数学证明凹函数

证明f(x)=2^x为R上凹函数

Answer 1

因为是高一数学,还没有学过微积分的概念所以不能用导数来作答.
根据定义,在函数f(x)上任取两点x1,x2(x2不等于x1),如果f(x1)+f(x2)>2*f((x1+x2)/2),那么就可以说明此函数是凹函数
即只要证明 A=2^x1+x^x2-2*2^[(x1+x2)/2]>0 即可
上式可以化为A={2^[(x1)/2]}^2+{2^[(x2)/2]}^2-2*2^[(x1)/2+(x2)/2] 这样就变成完全平方式了
得A={2^[(x1)/2]-2^[(x2)/2]}^2 上式显然大于等于零,又 因为x1不等于x2 ,所以上式显然大于零.
证明完毕

觉得好请采纳哦,baidu写数学公式不方便,应该能看懂吧?

Answer 2

应该叫凸函数。证明 f '' > 0 即可

一个函数称为凸函数，如果函数图像上面那一块是凸集。不是指函数图像的凸性，函数图像除了直线以外，都不是凸集。

一个集合称为凸集，如果任给集合中的两点，连接两点的线段整个包含在此集合中。所以{(x,y): y>2^x} 是凸集，于是 y=2^x 称为凸函数，也叫上凸函数。

如果一个函数的图下方的集合是凸集，就叫下凸函数

Answer 3

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的。
求导后就显而易见了吧~