Question

椭圆C：x^2/4+y^2/3=1,直线y=kx+m与C交于A，B（AB不是左右顶点），以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。

求证：直线l过顶点，并求出顶点坐标。（求过程详细点，速度，谢谢！悬赏到时候加）

Answer 1

解：联立直线和椭圆的方程，得（4K2+3）x2+8kmx+(4m2-12)=0⑴,由⊿>0得4k2-m2+3>o.由椭圆的右顶点C在以A,B为直径的圆上，故向量CAxCB=0,设A（x1，y1），B(x2，y2)，有x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0⑵,由⑴根据韦达定理，有x1x2=4m2-12/4k2+3,x1+x2=—8km/4k2+3,又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0,代入⑵中得4k2+7m2+16km=0.把k看作自变量解此一元二次方程得k=-m/2或k=-7m/2,代入⊿>0验证均成立，但因为直线不过椭圆顶点，舍去k=-m/2，故直线为y=-7m/2x+m,故直线过定点（2/7,0）.