Question

求有关韦达定理的难题

求有关韦达定理的难题!!经典的那种 速度!!马上要去学校了!!!!

Answer 1

1、设0<a<b<c，实数x，y（x>y）满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，则x，y的取值范围是什么？
解：2x+2y=a+b+c
==>x=(a+b+c-2y)/2----------------------------------(1)
2xy=ac==>x=ac/2y-----------------------------------(2)
(1)代入（2）得：

ac/2y=(a+b+c-2y)/2
==>ac=(a+b+c-2y)y
==>2y^2-ay-by-cy+ac=0
==>(y^2-ay-cy+ac)+(y^2-by)=0
==>(y-a)(y-c)+y(y-b)=0
要等式为0，(y-a)(y-c)，和y(y-b)应该是一个互为相反数，
i)
∴{(y-a)(y-c)>0,y(y-b)<0}
==>{y>a,y>c,y<b}或者{y<a,y<c,y<b}
==>0<y<a
ii){(y-a)(y-c)<0,y(y-b)>0}
==>b<y<c
所以最后结果是：0<y<a

同理：ac/2x=(a+b+c-2x)/2
==>(x-a)(x-c)+y(x-b)=0
……………………
==>b<x<c（因为x>y）

所以：x，y的取值范围是：b<x<c，0<y<a

2、已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，

即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－1、x2－1均为基袜整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

3、 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，

即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵森樱x1、x2为正整数，此锋丛

解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．