Question

一道数学题,求学霸,快来啊~~ 如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O分别交AC

一道数学题,求学霸,快来啊~~ 如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且角CBF=1/2角CAB. (1)求证:直线BF是圆O的切线。 (2)若AB=5,sin角CBF=根5/5,求BC和BF的长。

Answer 1

1）连AE,
因为AB为直径
所以∠AEB=90
因为AB=AC
所以∠BAE=∠CAE=（1/2）∠BAC(三线合一)
因为∠CBF=(1/2)∠BAC
所以∠CBF=∠BAE
因为∠BAE ∠ABE=90
所以∠ABE ∠CBF=90
因为B在圆上
所以直线BF是⊙O的切线
2）因为∠CBF=∠BAE
所以sin∠CBF=sin∠BAE=BE/AB=BE/5
所以BE=5×√5/5=√5
所以BC=2BE=2√5

在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=2√5
由△ABC面积不变，得，
AC×BD=BC×AE,
即5BD=2√5*2√5
解得BD=4,
在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD=3,
由∠ADB=∠ABF=90,∠BAD为公共角
得△ABD∽△AFB,，
所以BD/FB=AD/AB
即4/BF=3/5
即得BF=20/3

Answer 2

1∵AB=AC ABC为等腰三角形
∠CBF+∠ABC=1/2∠BAC+∠ABC=90°
BF⊥AB ∴BF为切线

2